Matemática que fascina: veja os dois dilemas resolvidos recentemente
Cientistas revelaram um novo tipo de infinito e resolveram o 'dilema do sofá', problema matemático com mais de 50 anos
Por Isabela StangaNovo infinito
Em um artigo publicado em 18 de novembro no portal de pré-prints Arxiv, pesquisadores apresentam o conceito de números cardinais 'utraexatos', que 'vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardinais'
Grandes cardinais
Os números cardinais são aqueles que representam uma quantidade absoluta ou exata de algo, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Os grandes cardinais são números 'tão grandes que não se pode provar que existem usando os axiomas padrão da matemática', explica Joan Bagaria
Problemas no infinito
A pesquisa dos cientistas descobriu que os cardinais são divididos em 'exatos' e 'ultraexatos', que vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardinais. Até aí, tudo bem. No entanto, os novos cardinais causam problemas às imagens de infinito de alguns matemáticos
Conjectura HOD
O problema acontece por conta de uma propriedade chamada Definibilidade Ordinal Hereditária (HOD): a ideia de que um conjunto, mesmo infinitamente grande, pode ser compreendido por meio de uma 'contagem até ele'
Universo ordenado
Na última década, os teóricos têm debatido a chamada conjectura HOD. 'A conjetura HOD diz-nos que o universo matemático é ordenado e ‘próximo’ do universo dos objetos matemáticos definíveis', afirmou ao IFL Science Juan Aguilera, coautor do novo artigo
Ultraexatos
'Normalmente, as grandes noções de infinito 'ordenam-se' no sentido em que, mesmo que sejam descobertas em contextos diferentes, uma é sempre claramente maior ou mais pequena do que as outras', disse Aguilera. 'Os cardeais ultraexatos parecem ser diferentes'
Comportamento estranho
Além de não se adaptarem bem a si próprios, os ultraexatos faz com que os cardinais se comportem de maneira 'estranha' com as noções de infinito. 'Amplificam outros infinitos: os cardeais considerados 'ligeiramente grandes' comportam-se como infinitos muito maiores na presença de cardinais ultraexatos', acrescenta o cientista
Novo infinito
Em outras palavras, o conjunto dos cardinais ultraexatos é um emaranhado inesperado no que se esperava ser uma hierarquia bem delineada, e tem impactos diretos na definição de infinito. 'Pode ser que estes sejam os primeiros exemplos de um novo tipo de infinito', completa Aguilera
Revisão
Vale ressaltar que o estudo está em fase de pré-print e precisa ainda ar pela revisão por pares
Dilema do sofá
Em 1966, Leo Moser propôs um problema que impactaria gerações de matemáticos: o 'dilema do sofá'. Mais de cinquenta anos depois, um estudioso pode ter descoberto uma resposta para a questão
Problema
O dilema consiste em saber qual é a maior área bidimensional que pode ar por um corredor em formato de L. Ou seja, qual seria o tamanho máximo de um móvel para ar em um corredor com ângulo de 90º
Área
A nomenclatura sofá logo foi empregada por causa do formato que o móvel teria que ter para ar pelo corredor. Em 1968, o matemático John Hammersley calculou que o formato ideal teria área de no mínimo (pi/2) + (2/pi), que dá cerca de 2.2074
Valores
Hammersley ainda provou que o limite superior para a área era dado por 2 raiz de 2, que dá aproximadamente 2,8284. O número exato ainda não tinha sido definido, mas os matemáticos sabiam que tinha de estar entre estes dois valores
Melhor resposta
Por 25 anos, porém, esta foi a melhor resposta que se tinha. Isso até o matemático Joseph Gerver apresentar uma solução de um sofá construído a partir de 18 secções de curvas suaves. O limite inferior para a área do sofá aumentou para 2,2195
Limite máximo
Em seu artigo, Baek prova uma condição sobre a forma como este sofá se moveria à volta da esquina, ou seja, o limite superior para a área deste sofá. Segundo ele, o limite máximo para o sofá é 2,2195 — o mesmo indicado por Gerver 32 anos atrás
Revisão
Vale ressaltar, no entanto, que os cálculos de Baek ainda precisam ar por uma revisão por parte de outros cientistas para ser validada